【数学】神秘的な素数の世界＜前編＞

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「私の年齢は素数です。」「今日の日付は素数ですね。」など，素数に対する愛に溢れた人に出会ったことはありますか？
そういう人を見かけても，怖がったり逃げたりしないでください。それくらい，素数は人々を惹きつける性質をもった数なのです。

素数とは
素数の出現
- ウラムの螺旋
いろいろな素数
- メルセンヌ素数
- 現在分かっている最大の素数
素数は無数に存在する
まとめ
- 参考書籍・サイト

素数とは

まずは，素数の定義から確認しましょう。

素数（prime number）

正の約数が1と自分自身のみである自然数。ただし1は除く。

素因数分解の一意性（任意の自然数は，素数の積として順序を除いてただ一通りに表せる）のため，1は素数に含めません。

1と素数以外の自然数は素数の積で表すことができ，これを合成数といいました。それ以上分解できないという意味で，読んで字のごとく，素数は自然数の素もととなる数です。

素数の出現

素数が現れるタイミングは気まぐれで，規則性などはないように見えますが，それが素数の面白いところとも言えます。

ウラムの螺旋

ポーランド出身の数学者スタ二スワフ・マルチン・ウラム（1909~1984）は，整数をらせん状に並べて素数に印をつけていくと，縦横の線や斜めの線がうっすら見えることを発見しました。この模様はウラムの螺旋らせんと呼ばれます。

ウラムは研究発表の際に，退屈しのぎに落書きをしていてこれを発見したそうです。この模様の意味は解明されていませんが，素数の出現に何らかの規則性があるかのように見えますね。

f:id:digitalmedia-d1g:20221122132823p:plain — ウラムの螺旋　出典：200×200 Ulam spiral"by Grontesca at English Wikipedia is licensed under CC BY-SA 3.0

いろいろな素数

〇〇素数というように，素数はその特徴に応じて様々な名前が付けられています。ここではその一部をご紹介します。

双子素数：「3と5」や「11と13」のような，差が2の素数のペア
いとこ素数：「3と7」や「7と11」のような，差が4の素数のペア
セクシー素数：「5と11」や「7と13」のような，差が6の素数のペア
三つ子素数：「5と7と11」のような，(p,p+2,p+6)または(p,p+4,p+6)で表せる3つの素数の組。

これらは，素数の差に注目して分類しているものです。三つ子素数は上3つの素数を含んでいますね。

これらの素数は無数に存在すると予想されていますが，未だに証明はされていません。

メルセンヌ素数

$2^n－1$ の形で表すことのできる数を，メルセンヌ数といいます。そして，素数であるメルセンヌ数を，メルセンヌ素数といいます。

$2^n－1$ が素数であるならば， $n$ も素数ですが，逆は成立しません。

例）11は素数だが， $2^{11}-1=2047=23×89$ は素数ではない。

メルセンヌ素数についても，無数に存在すると予想されていますが，証明はされていません。

現在分かっている最大の素数

素数であることが確認されている最大の数は， $2^{82,589,933}-1$ です（2021年4月時点）。
これは，2017年にメルセンヌ素数探索プロジェクト「GIMPS」が発見した51個目のメルセンヌ素数であり，桁数は2486万2048桁にも及びます。
これまで確認されていた最大の素数（50個目のメルセンヌ素数）よりも，約160万桁大きい数となります。